为什么矩阵的秩(矩阵的本质为什么是秩)
2023-09-16 admin 【 字体：大 中 小 】
大家好，如果您还对为什么矩阵的秩不太了解，没有关系，今天就由本站为大家分享为什么矩阵的秩的知识，包括矩阵的本质为什么是秩的问题都会给大家分析到，还望可以解决大家的问题，下面我们就开始吧！
本文目录
为什么矩阵的秩等于n时有非零解
这个系数行列式必然行数和列数是想等的，如果这个行列式的值是0那么行列式在行的初等变换中必然可以出现一行全部都是0的状态。
这样一来也就是说，以前的方程组里面相互可以消掉某个方程，这个时候就出现了未知数数量大于方程数量，更多的未知数需要满足的方程数比较少所以，可取的值就会更多也就有非零解了。
常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。
齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）
n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零
为什么阶梯矩阵的秩等于阶梯数
行阶梯矩阵非零行的首非零元(个数=非零行数)所在的列是线性无关的,且其余向量可由它们线性表示。
所以它们是A的列向量组的一个极大无关组。
所以A的列秩=非零行的行数
所以A的秩=非零行的行数
举例：
比如A=(a1,a2,a3,a4)经过初等行变换化成
1234
0015
0000
那么a1,a3是线性无关的[即行阶梯矩阵非零行的首非零元所在的列是线性无关的]
这个线性无关组含向量的个数是梯矩阵的非零行数
再把梯矩阵化成行简化梯矩阵
120-11
0015
0000
就可能看出a2=2a1,a4=-11a1+5a3
即a2,a4可由a1,a3线性表示
所以a1,a3是a1,a2,a3,a4的极大无关组
即A的列秩=2(非零行数)
所以A的秩=2(非零行数)
?
扩展资料：
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。
A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n)易得：
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。
矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
为什么矩阵的行列式等于1，其秩为n
矩阵的秩的定义：存在K阶子式不为0，对任意K+1阶子式均为0，则k即为矩阵的秩。
向量组的秩的定义：向量组的极大线性无关组所包含向量的个数，称为向量组的秩。
其次再弄清楚3个定理：
1，矩阵A的行列式不为0的充要条件是A的行(列)向量线性无关
2，无关组加分量仍无关
3，r个n维列向量组线性无关的充要条件是这r个n维列向量组所构成的矩阵至少存在一个r阶子式不为0
好了，简略证明过程开始,我先证“矩阵的秩等于列向量组的秩”。假设n阶矩阵的秩为r，其列向量组的秩为s。（我们的目标：就是证明r=s）
一方面，矩阵的秩为r，即为其有K阶子式不为0(矩阵秩的定义)，则该K阶子式的列向量线性无关(定理1)，则其k阶子式所在矩阵的列向量必线性无关(定理2)，则由向量组的秩的定义可知r≤s。
另一方面，列向量组的秩为s，由定理3知，必有一个s阶子式不为0，故由矩阵的秩的定义可知s≤r。
联立即得，r=s！
矩阵的本质为什么是秩
因为轶是其行向量或列向量的极大无关组中包含向量的个数。
能这么定义的根本原因是：矩阵的行秩和列秩相等（证明可利用n+1个n维向量必线性相关）
矩阵的秩的几何意义如下：在n维线性空间V中定义线性变换，可以证明：在一组给定的基下，任一个线性变换都可以与一个n阶矩阵一一对应；而且保持线性；换言之，所有线性变换组成的空间End<F>(V)与所有矩阵组成的空间M(n)<F>是同构的。
OK，本文到此结束，希望对大家有所帮助。
