本篇文章给大家谈谈定义函数是什么意思，以及函数的概念，什么是函数对应的知识点，文章可能有点长，但是希望大家可以阅读完，增长自己的知识，最重要的是希望对各位有所帮助，可以解决了您的问题，不要忘了收藏本站喔。

一、函数的概念，什么是函数

函数的定义

函数的传统定义:

设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。

我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数的近代定义:

设A，B都是非空的数的集合，f:x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，显然有CB。

符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为:

x是自变量，它是法则所施加的对象;f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述;y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式。y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示。

对函数概念的理解

函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。

由函数的近代定义可知，函数概念含有三个要素:定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。y=f(x)的意义是:y等于x在法则f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，所以是函数的核心。至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则，这是无关紧要的。

函数的定义域(即原象集合)是自变量x的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后，函数的值域也就随之确定了。因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可。只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说:

1)定义域不同，两个函数也就不同;

2)对应法则不同，两个函数也是不同的;

3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则。

例如:函数y=x+1与y=2x+1，其定义域都是x∈R，值域都为y∈R。也就是说，这两个函数的定义域和值域相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数。

定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素。由于值域可由定义域和对应法则唯一确定。两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数。

例如:在①y=x与，②与，③y=x+1与，④y=x0与y=1，⑤y=|x|与这五组函数中，只有⑤表示同一函数。

f(x)与f(a)的区别与联系

f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量。而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。如一次函数f(x)=3x+4，当x=8时，f(8)=3×8+4=28是一常数。

当法则所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加法则。

比如f(x)=x2+1，左端是对x施加法则，右端也是关于x的解析式，这时此式是以x为自变量的函数的解析式;而对于f(x+1)=3x2+2x+1，左端表示对x+1施加法则，右端是关于x的解析式，二者并不统一，这时此式既不是关于x的函数解析式，也不是关于x+1的函数解析式。

二、在数学上定义和定理的区别是什么

在数学上,定义和定理有以下主要区别:

1.性质不同。定义是对数学概念或符号的解释说明,是描述性的。定理是对某一命题的判断或断定,是推论性的。

2.函数不同。定义的作用是给出概念或符号的意义,用来理解和说明。定理的作用是断定某个命题为真,用来证明和推导。

3.证明要求不同。定义本身不需要证明。定理需要通过定义后的演绎和推理加以证明,证明的过程才能产生说服力。

4.变化性不同。定义给出的概念和符号的涵义是不变的。定理可以根据新的定义和条件进行修正或推翻,有相对的变化性。

5.先后顺序不同。在数学推理中,定义通常在前,作为后续定理的基础。定理建立在定义的基础之上,需要在定义明确后才可以推导。

例如:

定义:两个集合的并集是包含两个集合中所有元素的集合。

定理:对任意两个集合A和B,都有A∪B=B∪A。

这个定理可以根据并集的定义加以证明,但反过来,并集的定义却不需要定理来证明。

所以,总之,定义是说明性的,它给出概念和符号的意义。定理是推断性的,它断定某个命题为真。定理建立在定义的基础之上,需要加以证明。掌握定义与定理的区别,可以加深对数学思维方式的理解。

三、函数定义法和公式法有什么区别

前者语言描述成分多，后者是用公式描述。

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