大家好，感谢邀请，今天来为大家分享一下曲线积分与路径无关是什么意思的问题，以及和积分与路径无关的一些困惑，大家要是还不太明白的话，也没有关系，因为接下来将为大家分享，希望可以帮助到大家，解决大家的问题，下面就开始吧！

本文目录

1. 为什么对弧长的曲线积分和路径无关
2. 积分与路径无关
3. 什么样的曲面积分与路径无关
4. 与路径无关的结论

为什么对弧长的曲线积分和路径无关

曲线积分与路径无关除了要求aQ/ax＝aP/ay，还有一个前提：这个等式在区域上都成立。

按本题的路径，直接从A到D的路径和从A到B再到D的路径包围的区域中有原点，而P，Q在原点都不可微，因此积分不再是与路径无关了。准确的说，这个从A到B到D再到A的闭曲线的积分不是0，应该是2pi，没多转一圈积分值都要多加2pi。因此要想做到与路径无关，你必须在一个不能绕原点转的区域上才行。比如如果积分路径都在左半平面，或者都在上半平面，此时积分就与路径无关了。

积分与路径无关

证明：

设Ω是平面xyz空间的曲面单连通闭区域，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)

在Ω内都具有一阶连续偏导数，则下列四种情况两两等价

第一种情况：

沿Ω内任何光滑闭曲线C，恒有

第二种情况：

对Ω内任何一个光滑曲线段C(A,B)，曲线积分

仅与C(A,B)的起点A、终点B有关，而与路径无关。

第三种情况：Pdx+Qdy+Rdz在Ω内是某一个函数u(x,y,z)的全微分，即在内恒有du=Pdx+Qdy+Rdz

第四种情况：在Ω内每一点处恒有

由上述第二种情况可知，曲线积分仅与所求曲线的起点A、终点B有关，而与路径无关。

证毕。

对于满足一些条件的曲线，起点和终点的位置固定，沿不同的路线积分，其积分值相同，即曲线积分只与起点和终点有关，与路线的选取无关。

一个在任何条件下适用的条件是原函数存在。如果积分区域是单连通区域，如果āQ/āx=āP/āy也满足积分与路径无关

在平面闭区域D上的二重积分，可通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达；或者说，封闭路径的曲线积分可以用二重积分来计算。

如区域D不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合上述条件，仍可证明格林公式成立.

注意：对于复连通区域D，格林公式的右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界方向对区域D来说都是正向

什么样的曲面积分与路径无关

曲线积分与路径无关的充要条件是:区域D是一个单连通域,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数,ap/ay=aq/ax。对于满足一些条件的曲线,起点和终点的位置固定,沿不同的路线积分,其积分值相同,即曲线积分只与起点和终点有关,与路线的选取无关。

与路径无关的结论

曲线积分与路径无关的判断及其相关问题，并在推导中给出了曲线积分与路径无关的一些充实条件及等价表述，例如岩壁曲线的积分等于零，本节我们来总结此问题中常见的四个等价表述，请读者注意，比较单连通域和复联同与众相关结论的异同。

文章分享结束，曲线积分与路径无关是什么意思和积分与路径无关的答案你都知道了吗？欢迎再次光临本站哦！