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n阶矩阵可逆的充要条件：1。a是非奇异的(非奇异矩阵是行列式不等于0的方阵)；2、A |0；3、r(A)=n；4.齐次线性方程组AX=0只有零解；5.A的特征值都不为0；6.非齐次线性方程组AX=b有唯一解；7.a等价于N阶单位矩阵；8.a可以表示为初等矩阵的乘积；9.任何N维向量都可以用A的列(或行)向量组线性表示；10.A的列(行)向量组是线性无关的。

为什么初等矩阵的乘积是可逆的？初等矩阵有三种，分别对应三种不同的行(列)变换：一是行(列)交换；第二，将一行(列)乘以一个非零常数[公式]，第三，将一行(列)与另一行(列)相加[公式]倍。有一个n阶初等矩阵E(注：本文将E用于初等矩阵，I用于单位矩阵)，还有一个n阶矩阵A. EA是E对应的初等行变换得到的矩阵，AE是E对应的初等列变换得到的矩阵。

扩展资料：n阶方阵A的可逆性定义是n阶方阵B有一个逆矩阵，其中AB=E，B称为A，它称为B=A-1。求方阵A的逆矩阵的方法主要有：1。A-1=1/| A | A*，其中A*是A. 2的伴随矩阵。在A的右边拼接一个同阶的单位矩阵，然后进行初等变换，把前面的A变成E，后面的A-1。通常这两种就够了。如果A很特殊，应该有简单的方法，比如求二阶方阵的逆，只求主对角线交换，次对角线交换的相反数，然后除以行列式；对角矩阵直接取对角元素的倒数；正交数组直接转置等。

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